Didáctica del Álgebra y la Geometría

Hablando matemáticamente ¿Qué es para ustedes una generalización?
Esta palabra (que parece tan simple) parece ser un martirio para muchos estudiantes que empiezan en el mundo del álgebra, puesto que el paso del mundo concreto al abstracto les trae un poco de incomodidad debido a que los profesores muchas veces se saltan un lenguaje matemático ¿Cómo? se preguntarán... Bueno, el mundo de la aritmética (es el mundo de las matemáticas pero solo con números, es decir, 3+2=5) no se explica o literalmente no se toma en cuenta por la mayoría de los profesores a la hora de aplicar la transposición didáctica a sus alumnos, es decir, se pasa de inmediato a lo algebraico, como por ejemplo: Juan tiene x años ¿Cuántos años tendrá en 5 años más?... Este parece ser el típico ejemplo a la hora de empezar a estudiar el álgebra, ¿Pero no sería más factible empezar por un ejemplo concreto y real? es decir, Juan tiene 15 años ¿Cuántos años tendrá en 5 años más? es aquí donde el alumno relaciona las propiedades a utilizar y desde aquí se tiene que generalizar, es decir, la respuesta al problema sería : 15+5=20, luego de esto se puede generalizar al álgebra, donde la respuesta es x+5, sabiendo que esa x representa el valor actual de la edad de Juan, para que así los alumnos partan con una base conocida y real para la construcción personal de su conocimiento.
Una vez aclarado esto, quisiera mencionar, también, el hecho de cuan importante es el lenguaje dentro del ser humano, con esto quiero decir que sin lenguaje no existe posibilidad de avanzar en ningún ámbito de cosas y es por por esto que como futuro profesor de matemáticas, no debo confundir el lenguaje matemático en juego o sino mis alumnos lo confundirán también y debo ser claro a la hora de explicar los conceptos matemáticos y sobre todo pasar desde el lenguaje aritmético al lenguaje algebraico de una forma fluida teniendo en cuenta la generalización, debido que esta palabra es muy importante en matemáticas, puesto que ahorra mucha escritura y permite avanzar mucho más rápido. Mi meta como futuro profesor de matemática, en este sentido , es lograr que mis alumnos pasen de un lenguaje a otro de una forma fluida para que así ellos logren un paso importante en su propio proceso de enseñanza y aprendizaje.
Al leer sobre este tema (lenguaje algebraico y comprensión matemática) me dí cuenta que la mayoría de lo que sé nunca me lo explicaron con el traspaso de un lenguaje a otro, no lo aprendí o no me lo explicaron en el colegio y como alumno de pedagogía y como ex alumno de la enseñanza media, de verdad que cuesta el álgebra... con las típicas preguntas realizadas por mi mientras el profesor explicaba la clases "¿Cómo es posible que una letra , x, represente mi edad o la de mis compañeros?"... vaya que eso es dificil ¿no?... Para eso lucharé como futuro pedagogo de matemáticas para que mis alumnos no pasen por los mismos malos entendidos que pasé yo.

Claro que sirve...

¿Podrán creer que el hermoso mundo de las matemáticas no es solo hacer y hacer ejercicios?... Quedó demostrado, a lo largo de este blog, que no es así, puesto que existe un mundo que es más complicado que las propias matemáticas en si, la enseñanza de las matemáticas. Con toda certeza, como estudiante de pedagogía en educación matemática, les digo que es un mundo , que yo , de primera, no lo consideraba para nada, pensaba incluso que era un ramo más que pasar y pensaba incluso que eran esos típicos ramos “cachos” que lo único que hacían era quitar el tiempo para poder estudiar matemática pura… Sin embargo, yo me encontraba muy lejos de lo que significa mi estudio en la universidad, la de ser profesor de matemáticas, debido a que pensaba que las didácticas eran muy fomes y aburridas, pensaba que con el solo hecho de enseñar matemáticas mis alumnos iban a aprender de inmediato no considerando la opción ¿Habrán aprendido realmente mis alumnos?.

En un principio, antes de hacer las didácticas de las matemáticas, no les tenía ninguna fe puesto que yo sabía que no me iban a servir y la verdad es que comparándome y fijándome empíricamente, a través de la observación a mis profesores, me pude dar cuenta de la diferencia que existe entre el enfoque tradicional y el enfoque constructivista y poco a poco tuve que ir cambiando mi manera de pensar y este ramo me sirvió mucho para ello. Incluso se ve reflejado en mis clases y uno se da cuenta cuando los alumnos dicen “Profesor era que todos enseñaran como usted”

Por lo expuesto antes, y estos meses de estudio de las didácticas de las matemáticas, hoy ha cambiado mi percepción sobre la didáctica de las matemáticas debido a que no solo se debe enseñar, sino enseñar o más bien entregar herramientas para que ellos aprendan, si, ellos, los alumnos.

Hoy la didáctica de las matemáticas, para ser sincero, todavía no la miro con el mismo agrado que las matemáticas puras puesto que la una lleva a la otra, es decir, sin matemática no hay didáctica de esta, con esto, lo principal, en primer lugar, es aprender matemáticas para que luego con un enfoque de conocimiento ingeniar una buena didáctica.

A lo largo de este blog, fuimos viendo algunas pocas etapas de la didáctica de las matemáticas, pero ahora les dejo una pregunta: ¿Depende de la didáctica para que los alumnos aprendan matemáticas?

Bien, espero que esta lectura haya generado en ustedes lo mismo que en mí, ahora, con toda seguridad les digo, la didáctica, independiente del área del saber que sea, funciona, sobre todo si se trata de la formación de futuros profesores.

Evaluaciones

Para poder empezar a hablar de evaluaciones tanto nacionales como internacionales, nos pondremos de acuerdo en que vamos a entender por evaluación. Bien; evaluación es un mecanismo de medición de los logros alcanzado por parte de los alumnos, es decir, “Es un proceso sistemático para recavar información sobre la efectividad de una acción” (www.ahciet-tforma.com/glosario/default.asp).

Como a modo de medición de conocimientos, Chile ha instaurado distintos sistemas de evaluación. Esto lo hace mediante pruebas aplicadas en las distintas etapas de la vida escolar, el Simce (Sistema de Medición de la Calidad de la Educación), durante la educación básica y media y la PSU (Prueba de Selección Universitaria), antes de ingresar a la Universidad (se usa a modo de selección).

Pero: ¿Se alcanzarán los objetivos propuestos para ambas prueba, tanto PSU como Simce?. En el caso del simce, les dejo una interrogante para su meditación: ¿no creen que los resultados arrojados por el Simce abren la brecha, cada vez más, entre la educación particular y la educación municipal o nos da cuenta de la realidad como país en el ámbito de la educación?

En el caso de la PSU como su nombre lo indica, selecciona a los puntajes más altos suponiéndose que son los “mejores” a nivel nacional pero con la disyuntiva de que los puntajes son cada vez mas lejanos al comparar los colegios particulares con los municipales, a modo de ejemplo: Del 100% de los estudiantes que ingresan a la universidad. El 75% son de colegios particulares y solo el 25% de ellos son de colegios municipales o corporativos.(www.mineduc.cl)

Ahora, en las evaluaciones internacionales, como en la LLECE (Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad Educativa), Chile está posesionado muy bajo del ideal, ganándole solo a Venezuela y Perú y a mi modo de ver, considero que no es muy alentador, ahora: ¿Por qué se instauró aquí la reforma que en España fue un fracaso?.

Considero que en Chile se imita o más bien se intenta imitar a países desarrollados pero bajo una realidad muy distinta, cuando aquí en Chile falta por cambiar lo principal y lo más básico dentro del sistema educativo que es el hecho de asegurar para todos una educación de calidad y equidad, es decir, considero que Chile debe preocuparse más por educación puesto que ahí está la clave de un país con perspectiva de futuro y visión globalizada.

Ingeniería Didáctica

En la última escritura, les mencioné acerca del contrato didáctico, pues bien, ahora les hablaré de la Ingeniería Didáctica, para ello lo primero que vamos a hacer es ponernos de acuerdo en qué es una Ingeniería Didáctica. La Ingeniería Didáctica llega a completar el cuadro sistémico de lo que es la Didáctica da las Matemáticas y esta última ocupa a la Ingeniería Didáctica como metodología de estudio que debiera ser compartido por todos aquellos que hacen didáctica de la matemática, es decir, para los profesores constituye una profesionalización de su deber dándole un sentido en lo que el profesor realiza en el aula de clases en el día a día.

Los pasos del proceso de una Ingeniería Didáctica son:

• Análisis Preliminar: Corresponde al saber matemático puesto en juego.
• Análisis A priori y Concepciones: Es la realización didáctica y la planificación. Respondiendo a la pregunta ¿Qué voy hacer?, para esto, la realización de actividades es importante.
• Experimentación: Aquí se pone a prueba la realización didáctica de los estudiantes, por ejemplo: en la realización de preguntas por parte de los alumnos y es el profesor quien debe guiar a sus alumnos a la respuesta correcta a través de otras preguntas para que así los alumnos respondan su inquietud inicial.

Esto nos lleva a un Análisis A posteriori y evaluación: Esto se refiere a contrastar lo que creíamos con lo que logramos, explicitando siempre el por qué de ese cambio.

Yo pienso que la Ingeniería Didáctica no es fácil de hacer y más aún si no hay personas dedicadas a la elaboración de este conocimiento. La carencia de científicos en el ámbito de la educación acrecienta aún más el problema, debido a que los llamados a cambiar esto, los profesores, están más preocupados por la evaluación docente que por la investigación.

También lo que influye, es el hecho que en Chile no hay leyes para la investigación, tampoco hay recursos para hacerlo, quedándonos solo con las ideas y/o tendencias extranjeras, siendo una realidad muy diferente con respecto a Chile ¿Será que no queremos investigar por el hecho de que es mucho más fácil copiar lo que viene de afuera? (En Japón, por ejemplo, el 40% de los ingresos del país son destinados a investigación de diversas índoles: tecnología educación, medicina etc. (http://www.jsps.go.jp/english/e-inv/short_set.htm).¿Estaremos convirtiéndonos así en entes pasivos en la creación de conocimientos para la puesta en marcha, por ejemplo, de una Ingeniería Didáctica?

En resumen, La Ingeniería Didáctica brinda herramientas al profesor siendo, para este, un sustento teórico. Ofrece, también, una metodología para producir conocimiento haciendo interactuar a los 3 entes principales de la educación: Profesorado, alumnado y saberes.

¿Y el contrato didáctico?

Como comenté en la reflexión pasada, el contrato didáctico se da en el aula de clases entre los profesores y alumnos, y es ahí donde se consideran los derechos y obligaciones de los estudiantes.
Pero ¿Considerarán los profesores el contrato didáctico como una forma de mantener “atento” a los estudiantes? Lo que se sabe es que el contrato es tanto para profesores y alumnos, es decir, ambos tienen que cumplir con los derechos y obligaciones.
Como alumnos nosotros tenemos que comprometernos a cumplir el contrato didáctico y no solo hacer uso de nuestros derechos si no también de nuestras obligaciones, para posteriormente realizar lo mismo con nuestros alumnos, de no hacerlo, se presenta un futuro muy incierto al aceptar el contrato didáctico de una forma muy pasiva debido a que como representante de una de las dos partes, los alumnos, deben ser críticos a la hora de alcanzar sus propios aprendizajes (“el alumno no debe ser solo un consumidor de la información entregada por el profesor, si no tener la capacidad de criticar y la capacidad de cuestionar su propio proceso de aprendizaje” Loce).
Ustedes se preguntarán del por qué escribo esto, bueno: debido a que muchos educadores tratan a los alumnos como entes pasivos, porque muchas veces son los profesores los que se creen dueños del contrato didáctico, pero la realidad hoy es muy distinta de hace 5 o 6 años atrás, hoy los alumnos de enseñanza media están mas “atentos” al contrato didáctico (de una forma implícita debido a que el contrato didáctico, puede, muchas veces, no estar escrito para que todos lo vean pero los alumnos ya saben de antemano sus obligaciones y sobre todo sus derechos) por ejemplo: Si una prueba no está fijada y se realiza de todas formas, estos alegarán por la no realización de la prueba.
¿Se podrá mejorar esta situación?... Yo pienso que la mejor forma de aclarar la situación en el aula de clases (entre profesores y alumnos) es a través de la comunicación, donde esta se entiende como el proceso de comunicar algo, relacionado con la materia y el contrato didáctico puesto en marcha en ese minuto, y que el otro sea capaz de entender a la perfección lo que uno de los dos quiere decir.
En la clase del miércoles pasado, quedó demostrado el incumplimiento del contrato didáctico en la sala de clases en el curso de cuarto año de la carrera de Pedagogía en Educación Matemática, donde ningún alumno cuestionó el actuar de la profesora en la realización de un test sorpresa acatando cada punto de la realización siendo que estaba fuera del contrato didáctico impuesto al principio entre las dos partes, pero como todo tiene una intensión, mi función, ahora, es estar más atento en el contrato didáctico puesto en acción en la sala de clases y manifestarme por mis derechos y mis obligaciones.

En la clase del jueves pasado, el debate entre nosotros fue la importancia que damos, como alumnos y futuros profesores de matemática, a esta ciencia, es decir, si la consideramos como un proceso intramatemática o extramatemática, ustedes se preguntarán ¿Qué es intramatemática y extramatemática? Pues bueno, estos procesos consisten en identificar la actividad matemática en un sentido e importancia social dando origen a la siguiente pregunta ¿Qué creen que es más importante, resolver un problema matemático sólo por resolverlo ó resolver un problema de la sociedad a través de la matemática? Como se habló en clases, son importantes tres aspectos matemáticos: Utilizar matemáticas conocidas, aprender y enseñar matemáticas y crear nuevas matemáticas, para que a partir de estos aspectos, el profesor en conjunto con sus alumnos, puedan ir generando procesos matemáticos, es decir, es importante aprender y saber matemáticas solo por hacerlo (u obligación escolar) pero también es importante como devolver a la sociedad lo que nosotros aprendemos de esta materia, con esto quiero decir que lo más importante dentro del aprender y el enseñar matemática es el valor social debido a que nosotros estamos insertos en una sociedad y debemos ser capaces, como futuros docentes, de entregar a nuestros alumnos herramientas necesarias para que estos construyan matemáticas o más bien a interpretar y ser capaces de reconocer cuando se está en frente de un problema matemático, lo que quiero decir es que la intramatemática sirve mucho como un primer paso para aprender matemática (debido a que primero tengo que aprender para que mis alumnos aprendan también) pero tiene más valor lo extramatemática debido a que es aquí donde se sabrá con certeza si como futuros profesores hemos, y en mi caso personal, he alcanzado el principal objetivo; el de entregar las herramientas para que mis alumnos construyan su propio proceso de aprendizaje.
Como se habló en clases, los alumnos están tan condicionados por los profesores debido a que es este último quien da las pautas a seguir y presiona de alguna manera a los alumnos con “la nota” que estos no son capaces de pensar si lo que dice el profesor está bueno ó malo, sino que solo aceptan. Lo ideal del proceso didáctico de las matemáticas no es esto, sino que el alumno interiorice la materia y este la procese para que sea capaz de generar su propia opinión sobre la materia en juego. Como me decía mi profesor de historia en la enseñanza media “Ustedes tienen que comer, procesar e interiorizar para luego vomitar su propio conocimiento” (Profesor Jorge Durán, INSUCO, Chillán). Con esto, la tarea es nuevamente condicionar a los alumnos a un cambio de su pensamiento con respecto a las matemáticas, en el sentido de que estos no acepten todo lo que el profesor diga sin antes un proceso de interiorización por parte de los alumnos de los conceptos matemáticos puestos en juego y el profesor, entregando las herramientas necesarias, los alumnos serán capaces de alcanzar tal objetivo.
Por otra parte, la interacción profesor-alumno responde a una irresponsabilidad matemática por parte de estos últimos dentro del contrato didáctico, ustedes se preguntarán qué quiere decir esto, bueno, lo primero es analizar el contrato didáctico puesto en acción en el aula de clases, esto quiere decir en la forma como el profesor y los alumnos interactúan en el proceso educativo, es decir, que da y qué ofrece cada uno en este proceso. El contrato didáctico no se trata de algo estático, es decir, está sujeto a cambios o modificaciones a lo largo del proceso que responde al fin de que los alumnos puedan pedirle al profesor las indicaciones para que estos puedan desarrollar los ejercicios en forma efectiva. En el proceso, también, los alumnos pueden tropezar con dificultades, obstáculos, no pudiendo entender o dar sentido a los conceptos matemáticos, también los alumnos pueden presentar frustración en el proceso, a este fenómeno se le conoce como irresponsabilidad matemática.
A mi parecer, es el profesor el causante de esta irresponsabilidad en los alumnos, puesto que es este quien los tupe con la resolución de una determinada guía de ejercicios, condicionando al alumno, de tal forma, que sólo aprenderán la mecanización de los ejercicios para que luego, por ejemplo,en la evaluación, el profesor les haga una prueba con alternativas causando en los alumnos una gran frustración y enojo por esa determinada materia (e inclusive también por el profesor.).
Para alcanzar a cabalidad los resultados deseables por todos, me refiero a que los alumnos paren a preguntarse y a reflexionar sobre una determinada situación o materia, es necesario que los alumnos relacionen la irresponsabilidad matemática con otros fenómenos como la didáctica de las matemáticas, para que así los alumnos sean capaces de abordar un problema para su posterior procesamiento continuando con su interiorización y terminar con el resultado deseable (ocupando para esto las herramientas propuestas por el profesor). Toda esta actividad se conoce como contrato didáctico.

¿Matemáticas?

Todos sabemos que a la mayoría de los alumnos en una sala de clases no gustan de la matemática, para ello, el profesor es quien debe de alguna manera incentivar a sus alumnos, pero ¿Qué ocurre cuando el alumno se niega rotundamente a aprender? O ¿Qué sucede si nos toca lidiar con personas conflictivas, como revolucionarios?
Yo pienso que la mejor manera de incentivar a mis alumnos es empezar la clase con unos ejemplos de la vida cotidiana, es decir, que le vean la aplicación de inmediato de las matemáticas en su entorno para luego dar ejemplos y pasar a la resolución de estos, posteriormente continuar y crear junto a mis alumnos las definiciones de un concepto para el siguiente paso, que son las propiedades del concepto, para que así puedan ir creando su propio conocimiento.
Otra manera en la que pienso que es bueno incentivar a mis alumnos es realizando la siguiente pregunta ¿Qué les gustaría estudiar al egresar de la enseñanza media? Y dependiendo de la respuesta de cada uno incentivarlos a lidiar con las matemáticas. Ej: Si algunos quieren estudiar una determinada Ingeniería. Incentivarlos por esa parte me parece genial, debido a que matemática esta en todos los campos de la ciencia y es de matemática que depende el futuro de muchos alumnos, es decir, cuan importante son las matemáticas en la formación y recopilación de conocimiento por parte del alumno que incide en su futuro y con esto les explico- de una manera suave y pedagógica- la importancia de las matemáticas, así los alumnos tendrán o harán conciencia sobre dicho tema.
También lo que me parece preocupante es de cómo enseñar lo mencionado anteriormente, es decir, los pasos a seguir para que el alumno vaya creando su propio conocimiento. Luego, cuando el se interiorice con el concepto, por ejemplo: Porcentajes, el paso siguiente será explicarles de una manera pedagógica y didacta unos ejercicios, luego la aplicación de este concepto en su vida (por ejemplo en una liquidación de una tienda) para que luego mis alumnos sean capaces de hacerlo por si solos con una buena interiorización por parte de estos del concepto matemático puesto en juego.
Debido a lo mencionado, tengo que esforzarme para llegar a ser un pedagogo desde el punto de vista dinámico y desde el paradigma Emergente ya que así podré cumplir con lo mencionado y también de esta manera incentivar a mis colegas a que seamos pedagogos Emergentes y trabajar desde ahí en adelante juntos para cumplir el gran propósito de la educación que es que el alumno alcance su propio conocimiento.
Con esto quiero decir que lo más importante es que yo tengo que aprender bien para ser capaz de entregarles las herramientas necesarias a mis alumnos para que estos vayan construyendo su propio conocimiento.